Question

已知函数f（x）=cos（ωx-

π

6

）-cos（ωx+

π

6

）-2cos²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）═

2

sin（ωx-

π

4

）-1，再根据f（x）的最小正周期为

2π

ω

=π，求得ω的值．
（Ⅱ）由f（x）═

2

sin（2x-

π

4

）-1，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos（ωx-

π

6

）-cos（ωx+

π

6

）-2cos²

ωx

2

 
=cosωxcos

π

6

+sinωxsin

π

6

-（cosωxcos

π

6

-sinωxsin

π

6

）-2•

1+cosωx

2

=sinωx-cosωx-1=

2

sin（ωx-

π

4

）-1，
因为f（x）的最小正周期为

2π

ω

=π，即ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1．      
由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
所以f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的周期性和单调性，属于基础题．