Question

已知x＞0且2x²+3y²=30，求x

2+y2

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于x＞0且2x²+3y²=30，可得y2=

30-2x2

3

=10-

2x2

3

≥0，可得0＜x≤

15

．变形再利用均值不等式即可得出．

解答： 解：∵x＞0且2x²+3y²=30，
∴y2=

30-2x2

3

=10-

2x2

3

≥0，解得0＜x≤

15

．
∴x

2+y2

=

x2(2+y2)

=

x2(12- 2x2 3 )

=

6× 1 3 x2(6- 1 3 x2)

≤

6×( 1 3 x2+6- 1 3 x2 2 )2

=3

6

．
当且仅当x=3时，上式取得最大值3

6

．
∴x

2+y2

的最大值为3

6

．

点评：本题考查了变形利用二次函数的单调性求最值，属于中档题．