Question

以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试的数学成绩，乙组记录中有一个数字模糊，无法确认．假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．
（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（3）当a=2时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，设这两名同学成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和数学期望，

Answer 1

（1）1；（2）；（3）详见解析.

试题分析：(1)根据平均数计算公式,直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解的值；
（2）分值从共种情况，由（1）中求得的结果可得，当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；
(3)用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值为的情况数，然后由古典概率模型概率计算公式求概率，然后列分布列，根据公式,此题属于基础题型,关键是读懂题，就能拿满分.
试题解析：（1）依题意，得： 
解得 ．                        3分
（2）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，
依题意 ，共有种可能．
由（1）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有种可能．
因此乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．    7分
（3）解：当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：
,,,,,,,，
则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为
因此，，，，．          10分

	0	1	2	3	4

所以随机变量的分布列为：
 
所以的数学期望
．   12分