Question

1．如图，点F是抛物线τ：x²=2py （p＞0）的焦点，点A是抛物线上的定点，且$\overrightarrow{AF}$=（2，0），点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC斜率分别为k₁，k₂．
（ I）求抛物线τ的方程；
（Ⅱ）若k₁-k₂=2，点D是点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₀，y₀），可知F（0，$\frac{p}{2}$），故$\overrightarrow{A{F}_{1}}=（-{x}_{0}，\frac{p}{2}-{y}_{0}）=（2，0）$．求得A坐标，代入x²=2py，得p=2．即可
（Ⅱ）过D作y轴的平行线交BC于点E，．并设B（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（${x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），由${k}_{2}-{k}_{1}=\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}+2}-\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}+2}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{4}$=2，得x₂-x₁=8．联立直线、直线方程得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{{y}_{D}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}}\end{array}\right.$．由题意${y}_{E}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{8}$，即可求△BCD的面积为S=$\frac{1}{2}$×ED×（x₂-x₁）=$\frac{1}{2}（{y}_{E}-{y}_{D}）（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$\frac{1}{2}×\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{8}×（{x}_{2}-{x}_{1}）=32$（定值）

解答 解：（Ⅰ）设A（x₀，y₀），可知F（0，$\frac{p}{2}$），故$\overrightarrow{A{F}_{1}}=（-{x}_{0}，\frac{p}{2}-{y}_{0}）=（2，0）$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-2}\\{{y}_{0}=\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，代入x²=2py，得p=2．
∴抛物线τ的方程为x²=4y．
（Ⅱ）过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B（${x}_{1}，\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），C（${x}_{2}，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
由（Ⅰ）得A（-2，1）．
${k}_{2}-{k}_{1}=\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}+2}-\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}+2}=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{4}$=2，
∴x₂-x₁=8．
直线DBy=$\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，直线CDy=$\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{D}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}\\{{y}_{D}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}}\end{array}\right.$．
∴直线BC的方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}（x-{x}_{1}）$，将x_D代入得${y}_{E}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{8}$．
∴△BCD的面积为S=$\frac{1}{2}$×ED×（x₂-x₁）=$\frac{1}{2}（{y}_{E}-{y}_{D}）（{x}_{2}-{x}_{1}）$=$\frac{1}{2}×\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{8}×（{x}_{2}-{x}_{1}）=32$（定值）

点评 本题考查了抛物线的方程，抛物线与直线的位置关系，属于中档题，