Question

10．已知曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{t}^{2}}{4}}\\{y=t}\end{array}\right.$，直线l的方程是x=ky+1（k∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交所得的弦长是4，求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去t，可得曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交所得的弦长是4，利用弦长公式建立方程，即可求实数k的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{t}^{2}}{4}}\\{y=t}\end{array}\right.$，消去t，可得曲线C的普通方程为y²=4x；
（Ⅱ）直线l与曲线C联立，得y²-4ky-4=0，
设交点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
∵相交所得的弦长是4，∴$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16{k}^{2}+16}$，∴k=0．

点评 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．