Question

在区间[

1

2

，2]上，函数f（x）=x²+bx+c，（b，c∈R）与g（x）=

x2+x+1

x

在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值等于

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：先利用基本不等式求得函数f（x）的最小值，及此时x的值，进而根据二次函数的性质列方程求得b和c，最后根据二次函数的性质求得函数在区间上的最大值．

解答： 解：g（x）=x+

1

x

+1≥3，当x=1时取得最小值，
∴对于函数f（x），当x=1时，函数有最小值3，
∴

- b 2 =1 1+b+c=3

，求得b=-2，c=4，
∴f（x）=x²-2x+4，
函数f（x）的对称轴为x=1，开口向上，
∴在区间[

1

2

，2]上，函数的最大值为f（2）=4，
故答案为；4．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用，二次函数的性质．对于二次函数的对称轴，顶点位置，应能熟练应用．