题目内容
设函数f（x）=cos2x+2
sinxcosx（x∈R）的最大值为M，
（1）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），求x1+x2+…+x10的值；
（2）设函数g（x）=f（x+θ），如果g′(
)=2
，求正实数θ的最小值．
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（1）若有10个互不相等的正数xi满足f（xi）=M，且xi＜10π（i=1，2，…，10），求x1+x2+…+x10的值；
（2）设函数g（x）=f（x+θ），如果g′(
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考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质
分析：（1）首先把函数关系式转化为：f(x)=2sin(2x+
)，进一步利用最值求出结果．
（2）由（1）的结论，进一步利用导数求出θ的最小值．
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（2）由（1）的结论，进一步利用导数求出θ的最小值．
解答：
解：（1）f(x)=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)，
由于函数f（x）的最大值为M．
则：M=2
∵f（xi）=2，
∴2xi+
=2kπ+
，
即xi=kπ+
(k∈Z)
又0＜xi＜10π，∴k=0，1，…，9，
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×
=
π
（2）f(x)=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)
所以g（x）=f(x+θ)=2sin(2x+2θ+
)
g′(x)=4cos(2x+2θ+
)
g′(
)=4cos(
+2θ+
)=-4sin2θ=2
即：sin2θ=-
∴θ=
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由于函数f（x）的最大值为M．
则：M=2
∵f（xi）=2，
∴2xi+
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即xi=kπ+
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又0＜xi＜10π，∴k=0，1，…，9，
∴x1+x2+…+x10=(1+2+…+9)π+10×
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（2）f(x)=
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所以g（x）=f(x+θ)=2sin(2x+2θ+
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g′(x)=4cos(2x+2θ+
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g′(
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即：sin2θ=-
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∴θ=
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点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最值，及等差数列的求和，函数的求导问题及相关的运算．
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