题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，cos
=
．
（Ⅰ）若b=3，求sinA的值；
（Ⅱ）若C为钝角，求边c的取值范围．
| B |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
（Ⅰ）若b=3，求sinA的值；
（Ⅱ）若C为钝角，求边c的取值范围．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式求出cosB的值，进而确定出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，将a的值代入得到b与c的关系式，再根据C为钝角得到cosC小于0，列出不等式，将得出关系式代入求出c的范围即可．
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，将a的值代入得到b与c的关系式，再根据C为钝角得到cosC小于0，列出不等式，将得出关系式代入求出c的范围即可．
解答：
解：（Ⅰ）∵cos
=
，
∴cosB=2cos2
-1=
，sinB=
=
，
∵a=2，b=3，sinB=
，
∴由正弦定理
=
得：sinA=
=
；
（Ⅱ）∵a=2，cosB=
=
，
∴b2=c2-
c+4，
又C为钝角，cosC=
＜0，即a2+b2-c2＜0，
整理得：8-
c＜0，即c＞
，
∴边c的取值范围是c＞
．
| B |
| 2 |
2
| ||
| 5 |
∴cosB=2cos2
| B |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 1-cos2B |
| 4 |
| 5 |
∵a=2，b=3，sinB=
| 4 |
| 5 |
∴由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| asinB |
| b |
| 8 |
| 15 |
（Ⅱ）∵a=2，cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 3 |
| 5 |
∴b2=c2-
| 12 |
| 5 |
又C为钝角，cosC=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
整理得：8-
| 12 |
| 5 |
| 10 |
| 3 |
∴边c的取值范围是c＞
| 10 |
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
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