Question

设p，q是实数，证明：方程x²+p|x|=qx-1有4个实根的充要条件是p+|q|+2＜0．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据二次函数的图象和性质，分别讨论对称轴和判别式△，即可得到结论．

解答： 解：若方程x²+p|x|=qx-1有4个实数根，则等价为方程有两个不同的正根和两个不同的负根，
若x＞0 时，方程等价为x²+px-qx+1=0，即x²+（p-q）x+1=0，
若满足

△=(p-q)2-4＞0 - p-q 2 ＞0

，即

p-q＞2或p-q＜-2 p-q＜0

，即p-q＜-2，
则p-q+2＜0，
若x＜0 时，方程等价为x²-px-qx+1=0，即x²-（p+q）x+1=0，
若满足

△=(p+q)2-4＞0 - -(p+q) 2 ＜0

，即

p+q＞2或p+q＜-2 p+q＜0

，即p+q＜-2，
则p+q+2＜0，
综上p+|q|+2＜0．
故方程x²+p|x|=qx-1有4个实根的充要条件是p+|q|+2＜0．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用一元二次方程的图象和性质是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．