Question

已知函数y=log_a（ax-

x

）（a＞0，a≠1为常数）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若a=3，试根据单调性定义确定函数f（x0的单调性；
（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）使函数f（x）解析式有意义，即可求出函数f（x）的定义域；
（2）设x1＞x2＞

1

9

，判断出3x1-

x1

＞3x2-

x2

，从而得出f（x₁）＞f（x₂），根据单调性的定义即得函数f（x）在（

1

9

，+∞）上为增函数；
（3）设x1＞x2＞

1

a2

，通过作差比较出ax1-

x1

＞ax2-

x2

，根据函数f（x）是增函数得到loga(ax1-

x1

)＞loga(ax2-

x2

)，所以a＞1．

解答： 解：（1）使函数y=loga(ax-

x

)有意义，则：

x≥0 ax- x ＞0

，解得x＞

1

a2

；
∴函数f（x）的定义域是(

1

a2

，+∞)；
（2）y=log3(3x-

x

)，x＞

1

9

，设x1＞x2＞

1

9

则：
3x₁-

x1

-3x₂+

x2

=3(x1-x2)-(

x1

-

x2

)=(

x1

-

x2

)[3(

x1

+

x2

)-1]；
∵x1＞x2＞

1

9

；
∴

x1

-

x2

＞0，

x1

+

x2

＞

2

3

，3(

x1

+

x2

)-1＞0；
∴3x1-

x1

＞3x2-

x2

，log3(3x1-

x1

)＞log3(3x2-

x2

)，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在（

1

9

，+∞）上单调递增；
（3）设x1＞x2＞

1

a2

，则：
ax1-

x1

-ax2+

x2

=a(x1-x2)-(

x1

-

x2

)=(

x1

-

x2

)[a(

x1

+

x2

)-1]；
∵x1＞x2＞

1

a2

，∴

x1

-

x2

＞0，

x1

+

x2

＞

2

a

，a(

x1

+

x2

)-1＞0；
∴ax1-

x1

＞ax2-

x2

   ①，∵函数f（x）是增函数；
∴f（x₁）＞f（x₂），即loga(ax1-

x1

)＞loga(ax2-

x2

)   ②；
由①②得：a＞1；
∴a的取值范围为：（1，+∞）．

点评：本题考查求函数的定义域，单调性的定义，以及根据函数单调性的定义判断函数的单调性，对数函数的单调性．