Question

3．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，-1）$，向量$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，函数$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．
（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，$a=2\sqrt{3}$，c=4，且f（A）恰是f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的运算由已知可求函数f（x）的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可得解．
（Ⅱ）结合范围$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，由正弦函数图象可求A的值，由余弦定理解得b的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m={sin^2}x+1+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，…（3分）
∴$由2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z），得kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，
所以：f（x）的单调递减区间为：$[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]（k∈Z）$．…（5分）
（Ⅱ） 由（1）知：$f（A）=sin（2A-\frac{π}{6}）+2$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
由正弦函数图象可知，当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时f（x）取得最大值3，…（7分）
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$…（8分）
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，得：$12={b^2}+16-2×4b×\frac{1}{2}$，
∴b=2，…（10分）
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×4sin{60^0}=2\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了平面向量的运算，正弦函数的单调性，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．