Question

已知偶函数f（x）=ax²+bx+c在点（1，1）处的切线与直线x+2y+9=0垂直，函数g（x）=f（x）+mln（x+1）（m≠0）
（1）求函数f（x）的解析式
（2）当m＜

1

2

时，求函数g（x）的单调区间和极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：常规题型,导数的概念及应用

分析：第（1）问根据函数f（x）是偶函数，可以求出b，然后利用函数f（x）=ax²+bx+c在点（1，1）处的切线与直线x+2y+9=0垂直，可以构建a，c的方程组求出a，c；第（2）问在研究函数的单调性时要按方程g′（x）=0的根与定义域的关系分类讨论．

解答： 解：（1）因为f（x）偶函数，所以b=0，
因为f′（x）=2ax+b=2ax，由题意知：

a+c=1 2a×(- 1 2 )=-1

，
解得

a=1 c=0

，所以f（x）=x²，…3分
（Ⅱ）g（x）=x²+mln（x+1），由题意知，g（x）的定义域为（-1，+∞），
g′（x）=2x+

m

x+1

=

2x2+2x+m

x+1

当m＜

1

2

时，x1=

-1- 1-2m

2

，x2=

-1+ 1-2m

2

，
∵m＜0时，x1=

-1- 1-2m

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2m

2

＞-1，
即x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），
∴m＜0时，g′（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（-1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	减函数	极小值	增函数

由表可知：m＜0时，
函数g（x）的单调递增区间为（

-1+ 1-2m

2

，+∞），单调递减区间为（-1，

-1+ 1-2m

2

），
g（x）有唯一极小值点x =

-1+ 1-2m

2

，
当0＜m＜

1

2

时，x1=

-1- 1-2m

2

＞-1
∴x₁，x₂∈（-1，+∞）
此时，g′（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

由表可知：当0＜m＜

1

2

时，函数g（x）的单调递增区间为（-1，

-1- 1-2m

2

），（

-1+ 1-2m

2

，+∞）；
单调递减区间为（

-1- 1-2m

2

，

-1+ 1-2m

2

），
函数g（x）的一个极大值点x=

-1- 1-2m

2

和一个极小值点x=

-1+ 1-2m

2

，
综上所述：
m＜0时，
函数g（x）的单调递增区间为（

-1+ 1-2m

2

，+∞），单调递减区间为（-1，

-1+ 1-2m

2

），
g（x）有唯一极小值点x =

-1+ 1-2m

2

，
0＜m＜

1

2

时，
函数g（x）的单调递增区间为（-1，

-1- 1-2m

2

），（

-1+ 1-2m

2

，+∞）；
单调递减区间为（

-1- 1-2m

2

，

-1+ 1-2m

2

），
函数g（x）的一个极大值点x=

-1- 1-2m

2

和一个极小值点x=

-1+ 1-2m

2

．

点评：本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，考查了分类讨论的思想，关键是抓住分类的标准．