题目内容

某校高三有800名同学参加学校组织的数学学科竞赛，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定95分及其以上为一等奖．
区间 [75，80） [80，85） [85，90） [90，95） [95，100]
人数 40 a 280 240 b
（Ⅰ）上表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；
（Ⅱ）现在要用分层抽样的方法从这800人中抽取40人的成绩进行分析，求其中获二等奖的学生人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加市全省数学学科竞赛，记“其中一等奖的人数”为X，求X的分布列与数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法
专题：概率与统计,二项式定理
分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图即得答案，
（Ⅱ）设获得一等奖的学生人数为x，列出方程解得即可，
（Ⅲ）首先求出X的分布列，根据数学期望公式计算可得．
解答： 解：（Ⅰ）依题意，a=0.04×5×800=160，b=0.02×5×800=80，
（Ⅱ）设获得一等奖的学生人数为x，则
x
80
=
40
800
，解得x=4，即获得一等奖的学生人数为4人，
（Ⅲ）依题意X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=
C
2
36
C
2
40
=
21
26
，P（X=1）=
C
1
36
•C
1
4
C
2
40
=
12
65
，P（X=2）=
C
2
4
C
2
40
=
1
130
，
所以X的分布列为：
x 0 1 2
  P
21
26
12
65
1
130
EX=0×
21
26
+1×
12
65
+2×
1
130
=
13
65
，所以X的数学期望为
13
65
．
点评：本题主要考查了频率分布直方图和数学期望，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={x|x2＜4x}，集合B={y|y=-x2，-1≤x≤2}，则集合∁R（A∩B）=（　　）
A、RB、{0}
C、∅D、{x|x≥4或x≤0}
已知f（x）=
3
cos2x-sin2x，若y=f（x-m）（m＞0）是奇函数，则m的最小值为（　　）
A、
π
6
B、
5π
6
C、
π
3
D、
2π
3
已知A={x|log2x＜2}，B={x|
1
3
＜3x＜
3
}，则A∩B为（　　）
A、（0，
1
2
）
B、（0，
2
）
C、（-1，
1
2
）
D、（-1，
2
）
在（2
x
-
1
x
）5的二项展开式中，x的系数为（　　）
A、-80B、-5C、10D、80
定义函数fk（x）=
alnx
xk
为f（x）的k阶函数．
（1）当a=1时，求一阶函数f1（x）的单调区间；
（2）讨论方程f2（x）=1的解的个数；
（3）求证：3elnx≤x3．
已知a＞2，f（x）=x-alnx-
a-1
x
，g（x）=
1
2
x2+ex-xex．（注：e是自然对数的底）
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[-2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=1-cosx（0＜x＜
π
2
）．数列{an}满足：0＜a1＜
π
2
，an+1=f（an），n∈N*．
（Ⅰ）求证：0＜an＜
π
2
（n∈N*）；
（Ⅱ）求证：数列{an}是递减数列．
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）若函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[
m
2
+f′（x）]在区间（t，3）总存在极值，求m的取值范围；
（3）若a=2，对于函数h（x）=（p-2）x-
p+2e
x
-3在[1，e]上至少存在一个x0使得h（x0）＞f（x0）成立，求实数P的取值范围．

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