Question

已知定义在R上的偶函数，并且满足f（x+2﹚=-

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f(x)

．
（1）当2≤x≤3时，f（x）=x，试求f（105.5）的值；
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1 试求当x∈﹙6，10﹚时，f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性和条件，求出函数的周期性，利用周期性和奇偶性即可得到结论；
（2）利用函数的周期性即可求出函数f（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x+2﹚=-

1

f(x)

．
∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．
则f（105.5）=f（4×26+1.5）=f（1.5），
∵f（x）是偶函数，∴f（1.5）=f（1.5-4）=f（-2.5）=f（2.5）=2.5，
故f（105.5）=f（1.5）=2.5．
（2）∵f（x）是偶函数，
∴当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，即f（-x）=2^-x-1=f（x），即f（x）=2^-x-1，
若x∈（6，8]时，x-8∈（-2，0]，即f（x）=f（x-8）=2^8-x-1，
当x∈（8，10）时，x-8∈（0，2），即f（x）=f（x-8）=2^x-8-1，
即f（x）=

28-x-1， x∈(6，8] 2x-8-1， x∈(8，10)

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，根据条件求出函数的周期性是解决本题的关键．