Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点，点H在PD上，且EH⊥PD，PA=AB=2．
（1）求证：EH∥平面PBA；
（2）求三棱锥P-AFH的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据平面ABCD是菱形推断出AD=AB，进而根据PA=AB，推断出PA=AD，利用∠B=60°判断三角形ABC为等边三角形，同时E为中点进而可推断出∠BAE=30°，进而推断出∠EAD=90°，通过PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，判断出PA⊥AE，则可判定△PAE≌△DAE，推断出PE=PD，根据EH⊥PD，推断出H为PD的中点，进而利用FH∥CD∥AB，根据线面平行的判定定理知FH∥平面PAB，根据E，F分别为BC，PC的中点推断EF∥AB，利用线面平行的判定定理推断出EF∥平面PAB，进而根据面面平行的判定定理知平面EFH∥平面PAB，最后利用面面平行的性质推断出EH∥平面PAB．
（2）根据F，H为中点，V_P-AFH=

1

4

V_P-ACD，则三棱锥P-AFH的体积可求．

解答： （1）证明：∵平面ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∵PA=AB，
∴PA=AD，
∵AB=BC，∠B=60°，BE=EC，
∴∠BAE=30°，
∴∠EAD=90°，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AE，即∠PAE=90°，
∴△PAE≌△DAE，
∴PE=PD，
∵EH⊥PD，
∴H为PD的中点，
∵FH∥CD∥AB，
∴FH∥平面PAB，
∵E，F分别为BC，PC的中点
∴EF∥AB，
∵AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵EF∩FH=H，EF?平面EFH，FH?平面EFH，
∴平面EFH∥平面PAB，
∵EH?平面EFH，
∴EH∥平面PAB．
（2）∵F，H为中点，
∴V_P-AFH=

1

4

V_P-ACD=

1

4

•

1

3

•

1

2

•2•2•sin60°•2=

3

6

点评：本题要考查了线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及性质，三棱锥的体积等问题．考查了学生空间观察能力和逻辑思维的能力．