题目内容

已知球O的表面积为8π，A、B、C是球面上的三点，AB=2，BC=1，∠ABC=
π
3
，点M是线段AB上一点，则MC2+MO2的最小值为
 
．
考点：球面距离及相关计算
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：首先判断得出△ACB为Rt△，O在三角形ABC中的射影O′是AB的中点，设AM=x，则MC2+MO2=2x2-5x+5，即可求出MC2+MO2的最小值．
解答： 解：∵球O的表面积为8π，∴球O的半径为
2

在三角形ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=
π
3
，
由余弦定理，得出AC2=AB2+CB2-2AB•CBcos∠ABC=1+4-2×1×2×
1
2
=3，
∴AC=
3
，AC2+CB2=AB2
∴△ACB为Rt△，
∴O在三角形ABC中的射影O′是AB的中点，
设AM=x，则MC2=3+x2-2
3
x•cos30°，MO2=1+（1-x）2，
∴MC2+MO2=2x2-5x+5，
∴x=
5
4
时，MC2+MO2的最小值为
15
8
．
故答案为：
15
8
．
点评：本题考查余弦定理，考查球O的表面积，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+
1
2
bn=1．
（1）求数列{an}和{bn}通项公式；
（2）记cn=
-2
an•log
bn
2
，数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn＜
m-2012
2
对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．
已知定义在R上的偶函数，并且满足f（x+2﹚=-
1
f(x)
．
（1）当2≤x≤3时，f（x）=x，试求f（105.5）的值；
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1 试求当x∈﹙6，10﹚时，f（x）的解析式．
已知圆柱底面积为5πcm2，母线长12cm，则圆柱体的全面积为
 
cm2．
若函数f（x）=asinx+cosx的图象关于点（-
π
3
，0）成中心对称，则a=
 
．
若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立则称数列{an}为周期数列，周期为T，已知数列{an}满足a1=m（m＞0），an+1=
an-1，an＞1
1
an
，0＜an≤1
则，有下列结论：
①若a3=4，则m可以取3个不同的值；
②若m=
2
，则数列{an}是周期为3的数列；
③对任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列；
④存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．
其中正确的结论有
 
．
下列从集合A到集合B的对应中是映射的有
 
；其中一一映射的有
 
．
①A=N*，B={0，1，2，3，4}，f：除以5的余数；
②A={x|x≥0}，B={y|y≥0}，f：x→y=
x
；
③A=N*，B={-1，1，2，-2}，f：x→（-1）x
④A=Z，B=R，f：x→
2
x

⑤A=N*，B=R，f：x→
x2

⑥A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，f：A中圆的内接矩形．
给出以下几个命题，其中正确的命题有
 
；（将所有正确命题的序号都填在横线上）
①由曲线y=x2与直线y=2x围成的封闭区域的面积为
4
3
；
②把5本不同的书分给4个人，每人至少1本，则不同的分法种数为
A
4
5
•
A
1
4
=480种；
③函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=-f（x），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
④已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，设a=f（ln
1
3
），b=f（log43），c=f（0.4-1.2），则c＜a＜b．
数列{
2n+1
n2(n+1)2
}前n项的和为
 
．

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