Question

在平面直角坐标系xOy中，P是直线2x+2y-1=0上的一点，Q是射线OP上的一点，满足|OP|•|OQ|=1．
（Ⅰ）求Q点的轨迹；
（Ⅱ）设点M（x，y）是（Ⅰ）中轨迹上任意一点，求x+7y的最大值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,轨迹方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=

1

2cosθ+2sinθ

，依题意可知，动点Q的极坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|•|OQ|=1，可得ρ′•ρ=1，即可求出Q点的轨迹；
（Ⅱ）设M（1+

2

cosα，1+

2

sinα），可得x+7y=1+

2

cosα+7+7

2

sinα=8+10sin（α+γ），即可求x+7y的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设射线OP的极坐标方程为ρ=

1

2cosθ+2sinθ

，
依题意可知，动点Q的极坐标为（ρ，θ），P（ρ′，a），由|OP|•|OQ|=1，可得ρ′•ρ=1．
∴ρ=

1

ρ′

=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴x²+y²=2x+2y，
∴（x-1）²+（y-1）²=2，
∴Q点的轨迹是以（1，1）为圆心，

2

为半径的圆；
（Ⅱ）设M（1+

2

cosα，1+

2

sinα），
∴x+7y=1+

2

cosα+7+7

2

sinα=8+10sin（α+γ），
∴x+7y的最大值为18．

点评：本题考查极坐标与参数方程，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．