Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F(

7

，0)，A、B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为12．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：当点P（x₀，y₀）在椭圆C上运动时，直线l：x₀x+y₀y=2与圆O：x²+y²=1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由△ADB面积的最大值为12，可得

1

2

×2ab=12，联立

ab=12 c= 7 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）由于点P（x₀，y₀）在椭圆C上运动，可得

y

2 0

=9(1-

x 2 0

16

)．圆心O到直线l：x₀x+y₀y=2的距离d=

2

7 16 x02+9

＜1（0≤x02≤16），即可证明直线l：x₀x+y₀y=2与圆O：x²+y²=1恒有两个交点．利用弦长公式可得L=2

r2-d2

=2

1- 4 7 16 x02+9

，即可得出．

解答： （1）解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵△ADB面积的最大值为12，
∴

1

2

×2ab=12，即ab=12．
联立

ab=12 c= 7 a2=b2+c2

，解得a=4，b=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

16

+

y2

9

=1．
（2）证明：∵点P（x₀，y₀）在椭圆C上运动，∴

x 2 0

16

+

y 2 0

9

=1，∴

y

2 0

=9(1-

x 2 0

16

)．
∴圆心O到直线l：x₀x+y₀y=2的距离d=

2

x02+y02

=

2

x02+9- 9 16 x02

=

2

7 16 x02+9

＜1（0≤x02≤16），
∴直线l：x₀x+y₀y=2与圆O：x²+y²=1恒有两个交点．
L=2

r2-d2

=2

1- 4 7 16 x02+9

，
∵0≤x02≤16，
∴9≤

7

16

x02+9≤16，
∴

2 5

3

≤L≤

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相交问题转化为圆心到直线的距离与圆的半径大小比较、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．