Question

如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S（单位：km²）．
（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km²？并说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax²，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为y=x²．由于y'=2x，可得过P（t，t²）的切线EF方程为y=2tx-t²．可得E，F点的坐标，S=

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)，即可得出定义域．
（2）S=

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)，利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．
设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax²，
把（2，4）代入，得4=a×2²，解得a=1，
∴抛物线的方程为y=x²．
∵y'=2x，
∴过P（t，t²）的切线EF方程为y=2tx-t²．
令y=0，得E(

t

2

，0)；令x=2，得F（2，4t-t²），
∴S=

1

2

(2-

t

2

)(4t-t2)，
∴S=

1

4

(t3-8t2+16t)，定义域为（0，2]．
（2）S′=

1

4

(3t2-16t+16)=

3

4

(t-4)(t-

4

3

)，
由S'（t）＞0，得0＜t＜

4

3

，
∴S（t）在(0，

4

3

)上是增函数，在(

4

3

，2]上是减函数，
∴S在（0，2]上有最大值S(

4

3

)=

64

27

．
又∵

64

27

=3-

17

27

＜3，
∴不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km²．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物线方程，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．