Question

定义在（0，+∞）上的函数A满足：①当x∈[1，3）时，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x₁，x₂，…，x_n，…，若a∈（1，3），则x₁+x₂+…+x₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意可得，当x∈[3^n-1，3ⁿ），（n∈N^*）时，f（x）=3^n-1-|x-2•3^n-1|，作函数图象可得其和为6（3¹⁰⁰⁷-1）．

解答： 解：当x∈[3^n-1，3ⁿ），（n∈N^*）时，
f（x）=3f（

x

3

）=3²f（

x

32

）=…=3^n-1f（

x

3n-1

）
=3^n-1[1-|

x

3n-1

-2|]=3^n-1-|x-2•3^n-1|，
作函数f（x）的图象如下，

则其零点从小到大，
x₁+x₂=4×3，x₃+x₄=4×3²，x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=4×3¹⁰⁰⁷；
故x₁+x₂+…+x₂₀₁₄=4×（3+3²+…+3¹⁰⁰⁷）
=6（3¹⁰⁰⁷-1）；
故答案为：6（3¹⁰⁰⁷-1）．

点评：本题考查了函数的零点的应用，属于基础题．