Question

（本题满分14分）
顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点，过点作抛物线的切线交x轴于点B₁，过点B₁作x轴的垂线交抛物线于点A₁，过点A₁作抛物线的切线交x轴于点B₂，…，过点作抛物线的切线交x轴于点．
（I）求数列{ x_n }，{ y_n}的通项公式；
（II）设，数列{ a_n}的前n项和为T_n．求证：；
（III）设，若对于任意正整数n，不等式…≥成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

（I）由已知得抛物线方程为． ………………………………………2分
则设过点的切线为．
令，故．
又，所以，． ……………………………………………4分
（II）由（1）知．
所以
++1+
) ．……………………………………………6分
由，，
得．
所以))．…………………………7分
从而

，
即．…………………………………………………………………9分
（III）由于，故．
对任意正整数n，不等式成立，
即恒成立．
设，………………………………10分
则．
故==

所以，故递增．…………………………………………12分
则．
故．…………………………………………………………………14分

略