Question

5．下列命题中，正确的是（1）（3）（4）（填写所有正确结论的序号）
（1）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC为锐角三角形；
（2）设f（sinx+cosx）=sinxcosx，则f（cos$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$；
（3）x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一条对称轴方程；
（4）已知函数f（x）满足下面关系：（1）f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$）；（2）当x∈（0，π]时，f（x）=-cosx，则方程f（x）=lg|x|解的个数是8个．

Answer 1

分析 设A，B均为锐角，推导出C也为锐角，可判断（1）；求出f（cos$\frac{π}{6}$）的值，可判断（2）；根据正弦函数的对称性，可判断（3）；画出函数f（x）的图象，并判断其与y=lg|x|图象交点的个数，可判断（4）．

解答 解：由题意可得A，B，C不能为直角，故可设A，B均为锐角，
又tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanA•tanB）+tanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，
∴tanC＞0，tanA＞0，tanB＞0，或一正、二负（舍），即A、B、C均为锐角，
故△ABC为锐角三角形，
故（1）正确．
∵f（sinx+cosx）=sinxcosx=$\frac{（sinx+cosx）^{2}-1}{2}$，
故f（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2}$，
故f（cos$\frac{π}{6}$）=f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，
故（2）错误；
当x=$\frac{π}{8}$时，y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）取最小值，
故x=$\frac{π}{8}$是函数y=sin（2x+$\frac{5π}{4}$）的一条对称轴方程，
故（3）正确；
（4）∵f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x-$\frac{π}{2}$）；
∴函数f（x）的周期为π，
∵当x∈（0，π]时，f（x）=-cosx，
∴函数f（x）的图象如下图所示：

由图可得：两函数图象共有8个交点，
即方程f（x）=lg|x|解的个数是8个．
故（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）

点评 本题考查的知识点是命题的真假故判断与应用，数形结合思想，三角函数的图象和性质，难度中档．