Question

10．函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），若对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用单调性求得f（x）的范围，进一步求得g（x）的范围，依题意，对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，可得到关于m的不等式组，求解可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}sin2x$，
当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，函数f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=1，$f（x）_{max}=f（\frac{π}{4}）=\sqrt{2}+\frac{1}{2}$，
∴f（x）∈[1，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}$]，
对于g（x）=mcos（2x-$\frac{π}{6}$）-2m+3（m＞0），
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，mcos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{m}{2}$，m]，
∴g（x）∈[-$\frac{3m}{2}$+3，3-m]，
若对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{1≤-\frac{3m}{2}+3}\\{\sqrt{2}+\frac{1}{2}≥3-m}\end{array}\right.$，
解得实数m的取值范围是[$\frac{5}{2}-\sqrt{2}，\frac{4}{3}$]．
故答案为：[$\frac{5}{2}-\sqrt{2}，\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解对任意x₁∈[0，$\frac{π}{4}$]，存在x₂∈[0，$\frac{π}{4}$]，使得g（x₁）=f（x₂）成立的含义，是中档题．