Question

设函数f(x)=sin2ωx+2

3

sinωx•cosωx-cos2ωx+λ，（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(

1

2

，1)．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点(

π

4

，0)，求函数f（x）在x∈[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：

分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦可求得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，利用其图象关于直线x=π对称，可求得sin（2ωπ-

π

6

）=±1，继而得ω=

k

2

+

1

3

（k∈Z），于是可求得ω及函数f（x）的最小正周期；
（2）由y=f（x）的图象过点（

π

4

，0），可求得λ=-

2

，于是知f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，x∈[0，

π

2

]⇒

5

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，利用正弦函数的性质可求得x∈[0，

π

2

]时函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωx•cosωx+λ
=-cos2ωx+

3

sin2ωx+λ
=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得：
sin（2ωπ-

π

6

）=±1，
∴2ωπ-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），即ω=

k

2

+

1

3

（k∈Z）．
又ω∈（

1

2

，1），k∈Z，
∴k=1，故ω=

5

6

．
∴f（x）的最小正周期是

6π

5

．
（2）由y=f（x）的图象过点（

π

4

，0），得f（

π

4

）=0，
即λ=-2sin（

5

6

×

π

2

-

π

6

）=-2sin

π

4

=-

2

，
即λ=-

2

．
故f（x）=2sin（

5

3

x-

π

6

）-

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

5

3

x-

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴-

1

2

≤sin（

5

3

x-

π

6

）≤1，
∴函数f（x）的值域为[-1-

2

，2-

2

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性、对称性与单调性，属于难题．