Question

11．如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，AA'⊥底面ABC，AB=BC=AA'，∠ABC=90°，O是侧面ABB'A'的中心，点D、E、F分别是棱A'C'、AB、BB'的中点．
（1）证明OD∥平面BCC'B'；
（2）求直线EF和AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）侧面AA′B′B为正方形，连结A′B，则O为A′B的中点，从而OD∥BC′，由此能证明OD∥平面BCC'B'．
（2）取BC中点M，连结EM、FM，则∠FEM为异面直线EF与AC所成的角，由此能求出直线EF和AC所成的角．

解答 证明：（1）依题意可知侧面AA′B′B为正方形，连结A′B，则O为A′B的中点，在△A′BC′中，O、D分别是边A′B、A′C′的中点，
∴OD∥BC′，
∵BC′?平面BCC'B'，OD?平面BCC'B'，
∴OD∥平面BCC'B'．
解：（2）取BC中点M，连结EM、FM，
则∠FEM为异面直线EF与AC所成的角，
设AB=2，则EM=EF=FM=$\sqrt{2}$，∴∠FEM=60°，
∴直线EF和AC所成的角为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．