Question

1．已知函数f（x）=xln x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a≤ln x+$\frac{1}{x}$对于x∈[1，+∞）恒成立，令g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=1+ln x，
令f′（x）＞0，解得x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
从而f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上递减；在（$\frac{1}{e}$，+∞）上递增；
（2）由题意得f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立，
即不等式a≤ln x+$\frac{1}{x}$对于x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x2}$=$\frac{x-1}{x2}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上是单调递增的，
所以g（x）的最小值为g（1）=1，
则a≤1．
故a的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．