Question

3．已知函数f（x）=x²+ax，若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则a的取值范围是{a|a≥2或a≤0}．

Answer 1

分析 首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f（f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数  y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于-$\frac{a}{2}$．

解答 解：由于f（x）=x²+ax，x∈R．则当x=-$\frac{a}{2}$时，f（x）_min=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
又函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，
则函数y必须要能够取到最小值，即-$\frac{{a}^{2}}{4}$≤-$\frac{a}{2}$，
得到a≤0或a≥2，
故答案为：{a|a≥2或a≤0}．

点评 本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．