题目内容
20．已知数列{an}（n∈N*）中，a1=2，a2=3，当n≥3时，an=3an-1-2an-2，则an=2n-1+1．分析 由已知数列递推式可得，数列{an+1-an}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，求其通项公式后，利用累加法求得an．
解答 解：由an=3an-1-2an-2，得an-an-1=2（an-1-an-2）（n≥3），
∵a1=2，a2=3，
∴a2-a1=1≠0，
则数列{an+1-an}构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n-1}$．
则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2n-2+2n-1+…+20+2=$\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+2={2}^{n-1}+1$．
故答案为：2n-1+1．
点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．
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