Question

15．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F₁、F₂分别在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，在其上有一动点A，A到点F₁距离的最小值是1，过A、F₁作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）判断?ABCD能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当?ABCD的面积取到最大值时，判断?ABCD的形状，并求出其最大值．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a-c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c，a，b²，即可得出．
（II）假设?ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k_OA•k_OB=-1．分类讨论：①当AB⊥x轴时，把x=-1代入椭圆方程，解出即可判断出；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线AB的方程与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用根与系数的关系及其斜率计算公式k_OA•k_OB=-1，看此方程是否有解即可判断出．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时?ABCD为矩形，S_矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线BA的方程与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，点O到直线AB的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．S_{平行四边形ABCD}=4×S_△OAB=$4×\frac{1}{2}|AB|d$，即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{a-c=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=1，a=2，b²=3．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）假设?ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k_OA•k_OB=-1．
①当AB⊥x轴时，把x=-1代入椭圆方程可得：$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得y=$±\frac{3}{2}$，
取A$（-1，\frac{3}{2}）$，则|AD|=2，|AB|=3，此时?ABCD不能为菱形．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1]}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}[\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1]}{\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{9{k}^{2}}{12-4{k}^{2}}$，
假设$\frac{9{k}^{2}}{12-4{k}^{2}}$=-1，化为k²=-$\frac{12}{5}$，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时?ABCD为矩形，S_矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
点O到直线AB的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_{平行四边形ABCD}=4×S_△OAB=$4×\frac{1}{2}|AB|d$
=2×$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{24\sqrt{1+{k}^{2}}|k|}{3+4{k}^{2}}$．
则S²=$\frac{576（1+{k}^{2}）{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{576}{16+\frac{8{k}^{2}+9}{{k}^{4}+{k}^{2}}}$＜36，
∴S＜6．
因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、平行四边形菱形矩形的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．