Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，E是BC上一点，若AB=$\frac{1}{2}BD，CE=\frac{1}{4}$EB．∠BDE=120°，CD=3，则BC=$\sqrt{93}$．

Answer 1

分析 经E点作EF⊥AC于F点，设AB=x，则由题意可求得BD，AD，AC，BC²，EF，ED，△EDB中，由余弦定理，整理可得：5x²-8$\sqrt{3}$x-12=0，可解得x，从而可求BC．

解答
解：如图，经E点作EF⊥AC于F点，设AB=x，则由题意可得，
BD=2x，AD=$\sqrt{3}$x，AC=3+$\sqrt{3}$x，BC²=x²+（3+$\sqrt{3}$x）²，
∵△CEF∽△ABC，∴$\frac{EF}{AB}=\frac{EC}{BC}$=$\frac{1}{5}$，即有EF=$\frac{1}{5}$x，
∵∠BDE=120°，AB=$\frac{1}{2}$BD，
∴∠EDF=30°，∴ED=2EF=$\frac{2}{5}$x，
∴△EDB中，由余弦定理知：BE²=DE²+BD²-2ED×BD×cos120°
=$\frac{4}{25}$x²+4x²-2×$\frac{2}{5}$x×2x×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{16}{25}$BC²
=$\frac{16}{25}$[x²+（3+$\sqrt{3}$x）²]，
整理可得：5x²-8$\sqrt{3}$x-12=0，
∴可解得：x=2$\sqrt{3}$或-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$（舍去），
∴BC²=x²+（3+$\sqrt{3}$x）²=93，可解得：BC=$\sqrt{93}$．
故答案为：$\sqrt{93}$．

点评 本题主要考察了余弦定理的应用，属于中档题．