Question

5．已知x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$，且目标函数z=mx-ny（m＞0，n＜0）的最大值为-6，则$\frac{n}{m-1}$的取值范围是（　　）

• A． [-2，0]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，0）∪（2，+∞）
• D． （-∞，0）∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由目标函数z=mx-ny（m＞0，n＜0）的最大值为-6，求得m-n=6，得到n=m-6，代入$\frac{n}{m-1}$，结合m的范围得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，-1），
化目标函数z=mx-ny（m＞0，n＜0为$y=\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$，
由图可知，当直线$y=\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为-m+n=-6，
则m-n=6．
∴$\frac{n}{m-1}$=$\frac{m-6}{m-1}=\frac{m-1-5}{m-1}=1-\frac{5}{m-1}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-6＜0}\end{array}\right.$，∴0＜m＜6．
则$-\frac{5}{m-1}＜-1$或$-\frac{5}{m-1}＞5$．
得$1-\frac{5}{m-1}＜0$或1-$\frac{5}{m-1}＞6$．
∴$\frac{n}{m-1}$的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．