Question

20．在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，AB=6，AD=3$\sqrt{2}$，AC=4．
（1）利用正弦定理证明：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理知$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，由已知及诱导公式可得sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC，由①÷②即可得证．
（2）由（1）知，$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$，设BD=3x，DC=2x（x＞0），则BC=5x，由cos∠BDA+cos∠ADC=0及余弦定理即可解得x的值，从而得解．

解答 解：（1）证明：由正弦定理知，在△ABD中，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$；
在△ADC中，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{DC}{sin∠DAC}$，
由∠ADB+∠ADC=π，∠BAD=∠DAC，
得sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠DAC．
由①÷②得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$．
（2）由（1）知，$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$，
设BD=3x，DC=2x（x＞0），
则BC=5x，
由cos∠BDA+cos∠ADC=0及余弦定理知，$\frac{{9{x^2}+18-36}}{{18\sqrt{2}x}}+\frac{{4{x^2}+18-16}}{{12\sqrt{2}x}}=0$，
解得x=1，
所以BC=5．

点评 本题主要考查了正弦定理，诱导公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．