Question

15．已知函数y=sinx（x∈[0，π]）图象上两个点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）满足AB∥x轴，O是坐标原点，若点C的坐标为（π，0），则四边形OABC的面积最大时，tanx₁-x₂=0．

Answer 1

分析 根据题意，求出四边形OABC的面积S_{四边形OABC}取最大值时x₁+tanx₁=π，再由y₁=y₂，得出A与B关于x=$\frac{π}{2}$对称，x₂+x₁=π，即可得出tanx₁-x₂=0．

解答 解：∵x∈[0，π]，
∴y₁=y₂＞0，
∴S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$（AB+OC）•y₁
=$\frac{1}{2}$[（x₂-x₁）+π]•sinx₁，
∵A与B关于x=$\frac{π}{2}$对称，∴$\frac{1}{2}$（x₂+x₁）=$\frac{π}{2}$，
∴x₂=π-x₁，
∴S_梯形=（π-x₁）sinx₁，x₁∈（0，$\frac{π}{2}$），
令y=（π-x）sinx，
∴y′=-sinx+（π-x）cosx=0，
∴tanx=π-x，
∴tanx+x=π，
∴y的最大值处有tanx+x=π，
∴x₁+tanx₁=π，
∴tanx₁-x₂=（π-x₁）-（π-x₁）=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了四边形面积的计算问题，是较难的题目．