Question

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosA+a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a+b=4，当c取最小值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；
（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由条件和完全平方公式化简后，利用基本不等式求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积；
方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化简已知的式子得到边的关系，由余弦定理求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C；
（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，结合条件消元后，利用一元二次函数的性质求出c的最小值，由面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：方法一：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴2sinCcosA+sinA=2sinB，…（1分）
∵A+B+C=π，
∴2sinCcosA+sinA=2sin（A+C），…（2分）
即 2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，…（3分）
∴sinA=2sinAcosC，…（4分）
∵sinA≠0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，…（5分）
又∵C是三角形的内角，∴C=$\frac{π}{3}$． …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，…（7分）
∵a+b=4，故c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=16-3ab，…（8分）
∴${c^2}=16-3ab≥16-3{（\frac{a+b}{2}）^2}=4$（当且仅当a=b=2时等号成立），…（10分）
∴c的最小值为2，故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$．…（12分）
方法二：（Ⅰ）∵2ccosA+a=2b，
∴$2c•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+a=2b$，…（1分）
∴b²+c²-a²+ab=2b²，即 c²=a²+b²-ab，…（3分）
∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，…（5分）
又∵C是三角形的内角，∴c=$\frac{π}{3}$． …（6分）
（Ⅱ）由已知，a+b=4，即b=4-a，
由余弦定理得，c²=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，…（8分）
∴c²=16-3a（4-a）=3（a-2）²+4，…（10分）
∴当a=2时，c的最小值为2，故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\sqrt{3}$． …（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换中的公式，以及求最值的方法：基本不等式、一元二次函数的性质，考查一题多解，化简、变形能力．