Question

5．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC，且S=$\frac{1}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$，则对△ABC的形状的精确描述是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等腰三角形
• C． 等腰或直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得a²+b²=c²，利用勾股定理可得C=$\frac{π}{2}$，利用余弦定理，三角形面积公式化简可得
sinB-cosB=0，可求$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，结合范围B∈（0，$\frac{π}{2}$），可求B=A，即可得解三角形的形状．

解答 解：∵asinA+bsinB=csinC，
∴由正弦定理可得：sin²A+sin²B=sin²C，可得：a²+b²=c²，
∴C=$\frac{π}{2}$，△ABC是直角三角形．
又∵S=$\frac{1}{4}（{a^2}+{c^2}-{b^2}）$=$\frac{1}{2}$acsinB，
∴$\frac{1}{4}$×2accosB=$\frac{1}{2}$acsinB，解得：sinB-cosB=0，可得：$\sqrt{2}$sin（B-$\frac{π}{4}$）=0，
∴B-$\frac{π}{4}$=kπ，可得：B=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∵B∈（0，$\frac{π}{2}$），B-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴B-$\frac{π}{4}$=0，可得：B=$\frac{π}{4}$，A=π-B-C=$\frac{π}{4}$，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，勾股定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．