Question

已知圆锥曲线C的焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

3

2

，其上的动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，
（Ⅰ）求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若曲线C的一条切线l交x、y轴正半轴交于A，B两点，求S_△AOB的最小值和此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，利用离心率为

3

2

，求出c，即可求出b，从而可求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）方程为y=kx+b（k＜0，b＞0）与椭圆方程联立，利用△=0，可得b²=4k²+1，表示出S_△AOB，利用基本不等式求最小值，从而得到此时直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，
∴a=2，
∵离心率为

3

2

，
∴

c

a

=

3

2

，
∴c=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴曲线C的标准方程为

x2

4

+y2=1（3分）                    
（Ⅱ）由已知直线l的斜率存在且不为0，l交x、y轴正半轴交于A、B两点，
可设方程为y=kx+b（k＜0，b＞0）（4分）
由

y=kx+b x2 4 +y2=1

消去y得（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0（6分）
△=64k²b²-4（4k²+1）（4b²-4）=0，∴b²=4k²+1（8分）
∴S_△AOB=

1

2

|-

b

k

||b|=

1

2

|4k+

1

k

|=|2k|+|

1

2k

|≥2（9分）
当且仅当|2k|=|

1

2k

|（k＜0）即k=-

1

2

时等号成立，此时b=

2

（11分）
直线l的方程y=-

1

2

x+

2

，△AOB面积的最小值为2．（12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．