Question

已知

m

=（bsin

x

2

，acos

x

2

），

n

=（cos

x

2

，-cos

x

2

），f（x）=

m

•

n

+a，其中a，b，x∈R．且满足f（

π

3

）=2，f′（0）=

3

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）-log 

1

3

k=0在区间[0，π]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,根的存在性及根的个数判断

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算和倍角公式、导数的运算法则即可得出；
（II）利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的值域，再利用对数函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）由题意知f(x)=

m

•

n

+a=bsin

x

2

cos

x

2

-acos2

x

2

+a=

a

2

(1-cosx)+

b

2

sinx，
由f(

π

3

)=2得，a+

3

b=8，（*）
∵f′(x)=

a

2

sinx+

b

2

cosx，又f′(0)=

3

，
∴b=2

3

，
代入（*）解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1-cosx+

3

sinx=2sin(x-

π

6

)+1，
∵x∈[0，π]，-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1≤2sin(x-

π

6

)≤2，f（x）∈[0，3]．
又∵f(x)-log

1

3

k=0有解，即f（x）=-log₃k有解，
∴-3≤log₃k≤0，解得

1

27

≤k≤1，
∴实数k的取值范围为[

1

27

，1]．

点评：本题考查了数量积运算和倍角公式、导数的运算法则、正弦函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．