Question

若实数x、y满足约束条件

y≤1 x+y≥0 x-y-2≤0

，
（1）求目标函数z=x-2y的最大值；
（2）求目标函数z=

y+2

x+2

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x-2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值；
（2）目标函数z=

y+2

x+2

的几何意义为动点M（x，y）到定点P（-2，-2）的斜率，利用数形结合即可得到z的最大值和最小值．

解答： 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=x-2y，得y=

1

2

x-

z

2

，
平移直线y=

1

2

x-

z

2

，当直线y=

1

2

x-

z

2

经过点A时，直线的截距最小，此时z最大，
由

x+y=0 x-y-2=0

，解得

x=1 y=-1

，即A（1，-1），
此时z的最大值为z=1-2×（-1）=1+2=3．
（2）目标函数z=

y+2

x+2

的几何意义为动点M（x，y）到定点B（-2，-2）的斜率，
当M位于A（1，-1）时，此时PA的斜率最小，此时z_min=

-1+2

1+2

=

1

3

，
当M位于C时，此时PC的斜率最大，
由

y=1 x+y=0

，解得

x=-1 y=1

，即C（-1，1），此时z_max=

1+2

-1+2

=3．

点评：本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．