Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足a₁+a₅=

2

7

a

2 3

，S7=63．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．
（Ⅱ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）法一：设正项等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，a_n＞0
则

a1+a1+4d= 2 7 (a1+2d)2 7a1+21d=63

，
得

a1=3 d=2

∴a_n=2n+1
法二：∵{a_n}是等差数列且a1+a5=

2

7

a32，∴2a3=

2

7

a32，
又∵a_n＞0∴a₃=7．…（2分）∵S7=

7(a1+a7)

2

=7a4=63∴a4=9，
∴d=a₄-a₃=2，∴a_n=a₃+（n-3）d=2n+1．   
（Ⅱ）∵b_n+1-b_n=a_n+1且a_n=2n+1，
∴b_n+1-b_n=2n+3
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=（2n+1）+（2n-1）+…+5+3=n（n+2），
当n=1时，b₁=3满足上式，b_n=n（n+2）
∴

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)

∴Tn= 1 b1 + 1 b2 +…+ 1 bn-1 + 1 bn = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+( 1 3 - 1 5 )…+( 1 n-1 - 1 n+1 )+( 1 n - 1 n+2 )]

=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型．