Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC上的动点，且

DE

DP

=

AF

AC

=λ，（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）若λ=

1

2

，求证：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E-FCD体积最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，四边形MEFN为平行四边形．由此能证明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）在平面PAD内作EH⊥AD于H，则EH⊥平面ADC，EH∥PAEH=λPA=λ．S△DFC=(1-λ)S△ADC=

1-λ

2

，由此能求出三棱锥E-FCD体积最大值．

解答： （Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M、N，
连接MN、ME、NF，则NF

∥

.

1

2

AD，ME

∥

.

1

2

AD，
所以NF

∥

.

ME，∴四边形MEFN为平行四边形．
∴EF∥MN，又EF?平面PAB，MN?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：在平面PAD内作EH⊥AD于H，
因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以EH⊥平面ADC，所以EH∥PA．
因为

DE

DP

=λ（0＜λ＜1），所以

EH

PA

=λ，EH=λPA=λ．

S△DFC

S△ADC

=

CF

CA

=1-λ，S△DFC=(1-λ)S△ADC=

1-λ

2

，
V_E-DFC=

1

3

×

1-λ

2

×λ=

λ-λ2

6

=

-(λ- 1 2 )2+ 1 4

6

≤

1

24

，（0＜λ＜1），
∴三棱锥E-FCD体积最大值

1

24

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．