Question

右图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且

MD

•

MN

=

π2

8

，则函数f（x）的解析式为

 

．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据

MD

•

MN

=

π2

8

，求得ω=2，又由E（0，1）是线段MD的中点，分析可得D、M的坐标，进而可得φ的值，从而求得函数的解析式．

解答： 解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据

MD

•

MN

=

π2

8

，
可得|

MD

|•|

MN

|•cos∠DMN=

1

2

•

MN

2=

1

2

(

π

ω

)2=

π2

8

，求得ω=2．
∴函数f（x）=2sin（2x+φ），
又由E（0，1）是线段MD的中点，则D的纵坐标为2，且点M、D的横坐标互为相反数．
又由ω=2，则周期T=

2π

2

=π．
设点D的横坐标为a，则点M的横坐标为-a，2a=

1

4

•T=

π

4

，∴a=

π

8

，
故M的坐标为（-

π

8

，0），D的坐标为（

π

8

，2）．
根据五点法作图可得2•（-

π

8

）+φ=0，
可得φ=

π

4

，∴f（x）=2sin（2x+

π

4

），
故答案为：f（x）=2sin（2x+

π

4

）．

点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．