Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，若x₁+2x₀=3x₂，函数g（x）=f（x）-f（x₀），则g（x）（　　）

• A． 恰有一个零点
• B． 恰有两个零点
• C． 恰有三个零点
• D． 至多两个零点

Answer 1

分析 由题意可知：x₁、x₂是方程3x²+2ax+b=0的两个根，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2}{3}a$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，由x₁+2x₀=3x₂，x₀=$\frac{3{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$＞0，令f（x₁）=f（x）的另一个解为m，即可求得m=-a-2x₁，则f（x）=f（m）=f（x₀），

解答 解：f（x）=x³+ax²+bx，求导，f′（x）=3x²+2ax+b，由函数f（x）有两个极值点x₁、x₂，
则x₁、x₂是方程3x²+2ax+b=0的两个根，则x₁+x₂=-$\frac{2}{3}a$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，
∴a=-$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$，①
由x₁+2x₀=3x₂，则x₀=$\frac{3{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=x₂+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$＞x₂，
由函数图象可知：令f（x₁）=f（x）的另一个解为m，
则x³+ax²+bx-f（x₁）=（x-x₁）²（x-m），
则$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+m=-a}\\{2{x}_{1}m+{x}_{1}^{2}=b}\end{array}\right.$，则m=-a-2x₁，
将①代入②整理得：m=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$-2x₁=$\frac{3{x}_{2}-{x}_{1}}{2}$=x₀，∴f（x）=f（m）=f（x₀），
∴g（x）只有两个零点，即x₀和m，
故选：B．

点评 本题考查导数的综合应用，函数零点个数的判断，考查韦达定理，数形结合思想，属于中档题．