Question

20．已知函数f（x）=x（m+e^-x），其中e为自然对数的底数，曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，e^-2）
• B． （e^-2，+∞）
• C． （0，e²）
• D． （e²，+∞）

Answer 1

分析 转化条件为函数有两个极值，通过导函数为0，推出m的表达式，转化两个函数的图象由两个交点，利用导函数的单调性，求出函数的值域，转化求解m的范围即可．

解答 解：曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，等价于函数f（x）由两个不同极值，即f′（x）=0有两个不相同的实数根，令f′（x）=m+e^-x-xe^-x=0，可得m=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，令g（x）=$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，则条件转化为直线y=m与y=g（x）有两个不同交点，
g′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-1）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
当x=2时，g′（x）=0，
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）是增函数；
当x＜2时，g′（x）＞0，g（x）是减函数；
所以x=2时，函数有极大值也是最大值，g（2）=e^-2，x→-∞时，g（x）→-∞，x→+∞时，g（x）→0，
从而m∈（0，e^-2）．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性以及函数的极值的关系，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．