Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,立体几何

分析：（Ⅰ）证明AB⊥B₁BCC₁，可得平面ABE⊥B₁BCC₁；
（Ⅱ）证明C₁F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC₁为平行四边形，可得C₁F∥EG；
（Ⅲ）利用V_E-ABC=

1

3

S△ABC•AA1，可求三棱锥E-ABC的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，
∴BB₁⊥AB，
∵AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥B₁BCC₁；

（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则，
∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=

1

2

AC，
∵E是A₁C₁的中点，
∴FG∥EC₁，FG=EC₁，
∴四边形FGEC₁为平行四边形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；

（Ⅲ）解：∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=

3

，
∴V_E-ABC=

1

3

S△ABC•AA1=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．

点评：本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E-ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．