题目内容
1．己知数列{cn}的前n项和为Tn，若数列{cn}满足各项均为正项，并且以（cn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay=$\frac{a}{2}$x2+$\frac{a}{2}$x+b，（a为非0常数）上运动，则称数列{cn}为“抛物数列”，己知数列{bn}为“抛物数列”，则（ ）| A． | {bn}一定为等比数列 | B． | {bn}一定为等差数列 | ||
| C． | 从第二项起{bn}一定为等比数列 | D． | 从第二项起{bn}一定为等差数列 |
分析 以（cn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay=$\frac{a}{2}$x2+$\frac{a}{2}$x+b，（a为非0常数）上运动，可得Tn=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{b}{a}$，当n=1时，c1=T1，c1＞0，解得c1=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$；
当n≥2时，cn=Tn-Tn-1，化为：（cn+cn-1）（cn-cn-1-1）=0，可得cn-cn-1=1，对b分类讨论，即可判断出．
解答 解：∵以（cn，Tn）（n∈N*）为坐标的点都在曲线ay=$\frac{a}{2}$x2+$\frac{a}{2}$x+b，（a为非0常数）上运动，
∴Tn=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{b}{a}$，
当n=1时，c1=T1=$\frac{1}{2}{c}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{1}$+$\frac{b}{a}$，c1＞0，解得c1=$\frac{1+\sqrt{1-\frac{8b}{a}}}{2}$．
当n≥2时，cn=Tn-Tn-1=$\frac{1}{2}{c}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}{c}_{n}$+$\frac{b}{a}$-$（\frac{1}{2}{c}_{n-1}^{2}+\frac{1}{2}{c}_{n-1}+\frac{b}{a}）$，化为：（cn+cn-1）（cn-cn-1-1）=0，
∵cn+cn-1＞0，
∴cn-cn-1=1，
当b=0时，数列{cn}为等差数列，首项为1，公差为1．
当b≠0，$1-\frac{8b}{a}$≥0时，数列{cn}从第二项起为等差数列，首项为c2=2，公差为1．
综上可得：数列{cn}从第二项起一定为等差数列．
故选：D．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | 3 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
| A． | $\frac{1}{4}$，π | B． | $\frac{1}{4}$，$\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$，π | D． | $\frac{1}{2}$，$\frac{π}{2}$ |
| A． | y=x3 | B． | y=ex | C． | y=x2+1 | D． | y=ln|x| |