Question

16．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为圆M：x²+y²-4x=0的圆心，直线l与抛物线C的准线和y轴分别交于点P、Q，且P、Q的纵坐标分别为3t-$\frac{1}{t}$、2t（t∈R，t≠0）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求证：直线l恒与圆M相切．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用焦点为圆M：x²+y²-4x=0的圆心求出p值即可求出抛物线C的方程；
（Ⅱ）先求出直线PQ的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可证明直线PQ恒与圆M相切．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），
因为焦点为圆M：x²+y²-4x=0的圆心，所以p=4，
因此抛物线C的方程为y²=8x；（4分）
（Ⅱ）由题意可知，P（-2，3t-$\frac{1}{t}$），Q（0，2t），
则直线PQ方程为：y-2t=$\frac{2t-（3t-\frac{1}{t}）}{2}$x，
即（t²-1）x+2ty-4t²=0，
圆心M（2，0）到直线PQ的距离$\frac{2{t}^{2}+2}{\sqrt{（{t}^{2}-1）^{2}+4{t}^{2}}}$=2，
因此直线l恒与圆M相切．

点评 本题考查抛物线的标准方程时，直线与圆相切，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．