Question

已知椭圆C的方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（1）椭圆上一点H(

2

，1)，AB是过椭圆中心的一条弦，且HA、HB与两坐标轴均不平行．求K_HA•K_HB的值；
（2）已知M(1，

6

2

)，P、Q是椭圆C上的两个动点（P、Q与M均不重合），F为椭圆的左焦点，且|PF|，|MF|，|QF|依次成等差数列．求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点E，并求出E的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x，y），B（-x，-y），则KHA•KHB=

y2-1

x2-2

又

x2

4

+

y2

2

=1代入上式得KHA•KHB=-

1

2

．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，可知|PF|=2+

2

2

x₁，同理|QF|=2+

2

2

x₂，|MF|=

(1+ 2 )2+( 6 2 )2

=2+

2

2

，从而x₁+x₂=2．由此能证明线段PQ的中垂线过定点A（

1

2

，0）．

解答： （1）解：设A（x，y），B（-x，-y）
∴KHA=

y-1

x- 2

KHB=

-y-1

-x- 2

∴KHA•KHB=

y2-1

x2-2

又

x2

4

+

y2

2

=1代入上式
∴KHA•KHB=-

1

2

．
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1，
可知|PF|=2+

2

2

x₁，同理|QF|=2+

2

2

x₂，
|MF|=

(1+ 2 )2+( 6 2 )2

=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PF|+|QF|，
∴2（2+

2

2

）=4+

2

2

（x₁+x₂），∴x₁+x₂=2．
（ⅰ）当x₁≠x₂时，由

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，
得x

2 1

-x

2 2

+2（y

2 1

-y

2 2

）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

．
设线段PQ的中点为N（1，n），由k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1），
∴（2x-1）n-y=0，
该直线恒过一定点A（

1

2

，0）．
（ⅱ）当x₁=x₂时，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或P（1，

6

2

），Q（1，-

6

2

），
线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（

1

2

，0）．
综上，线段PQ的中垂线过定点A（

1

2

，0）．

点评：本题考查两直线的斜率的乘积的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．