Question

已知a_n，a_n+1是方程x²-（3n+2）x+b_n=0的两根，若a₁=1，
（1）求证：数列{a_2n}及{a_2n-1}都是等差数列；
（2）求b_n．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据根与系数之间的关系得到a_n+a_n+1=3n+2，a_na_n+1=b_n，然后根据等差数列的定义即可证明数列{a_2n}及{a_2n-1}都是等差数列；
（2）根据a_na_n+1=b_n，即可求出b_n的通项公式．

解答： 解：（1）∵a_n，a_n+1是方程x²-（3n+2）x+b_n=0的两根，
∴a_n+a_n+1=3n+2，a_na_n+1=b_n，
a_2n+a_2n-1=3（2n-1）+2=6n-1 ①
a_2n-1+a_2n-2=3（2n-2）+2=6n-4 ②
a_2n-2+a_2n-3=3（2n）+2=6n+2   ③
①-②得：a_2n-a_[2（n-1）]=3
②-③得：a_2n-1-a_{[2（n-1）-1]}=3
因此，数列a_2n及a_2n-1成等差数列
（2）∵a_na_n+1=b_n，
∴b_2n=a_2na_2n+1，
∵a₁=1，a₂=4
∴a_2n=a₂+（

n

2

-1）d=

3

2

n+1，
a_2n+1=a₁+（

n

2

+1）d=

3

2

n+7，
∴b_2n=a_2na_2n+1=（

3

2

n+1）（

3

2

n+7），
即b_n=（

3

4

n+1）（

3

4

n+7）=

9

16

n²+6n+7．

点评：本题主要考查等差数列的证明以及数列通项公式的求解，考查学生的运算能力，综合性较强，有一定的难度．