Question

已知函数f（x）=

2 |x-2| ， x≠2 1， x=2

，若关于x的方程：[f（x）]³+b[f（x）]²+c[f（x）]+d=0有且仅有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²的值是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：题中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解，即要求对应于方程：f（x）=某个常数，有3个不同实数解，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．故关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解，即解分别是1，2，3．从而问题解决．

解答： 解：∵函数f（x）=

2 |x-2| ， x≠2 1， x=2

，
∴f（2）=1，f（x）=1，x=0，或x=4，即f（0）=f（4）=1，
作出f（x）的简图：

由图可知，只有当f（x）=1时，它有三个根．
故关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解，
即解分别是0，2，4．
故x₁²+x₂²+x₃²=0+4+16=20，
故答案为：20，

点评：本小题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．