Question

如图所示，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、D₁B₁的中点．求证：EF⊥平面B₁AC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：以DC、DA、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而得到向量

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

），

AC

=（1，-1，0），

AB1

=（1，0，1），从而证明

EF

⊥

AC

，

EF

⊥

AB1

，从而证明线面垂直．

解答： 证明：以DC、DA、DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体的边长为1个单位长度，
则E（1，1，

1

2

），F（

1

2

，

1

2

，1），A（0，1，0），C（1，0，0），B₁（1，1，1），
则

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

），

AC

=（1，-1，0），

AB1

=（1，0，1），
则

EF

•

AC

=-

1

2

+

1

2

=0，

EF

•

AB1

=-

1

2

+

1

2

=0，
则

EF

⊥

AC

，

EF

⊥

AB1

，
则EF⊥平面B₁AC．

点评：本题考查了空间向量的应用，属于中档题．